题目
题型:香洲区模拟难度:来源:
a | 2n |
1 |
an•an+1 |
(1)求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn;
(2)若对任意的n∈N*,不等式λTn<n+8•(-1)n恒成立,求实数λ的取值范围;
(3)是否存在正整数m,n(1<m<n),使得T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.
答案
a | 2n |
得
|
|
解得a1=1,d=2,∴an=2n-1
又∵an=2n-1时,Sn=n2满足
a | 2n |
∵bn=
1 |
an•an+1 |
1 |
2 |
1 |
2n-1 |
1 |
2n+1 |
∴Tn=
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
2n-1 |
1 |
2n+1 |
n |
2n+1 |
(2)①当n为偶数时,要使不等式λTn<n+8•(-1)n恒成立,即需不等式λ<
(n+8)(2n+1) |
n |
8 |
n |
∵2n+
8 |
n |
∴此时λ 需满足λ<25. …(6分)
②当n为奇数时,要使不等式λTn<n+8•(-1)n恒成立,即需不等式λ<
(n-8)(2n+1) |
n |
8 |
n |
∵2n-
8 |
n |
8 |
n |
∴此时λ 需满足λ<-21. …(8分)
综合①、②可得λ的取值范围是λ<-21. …(9分)
(3)T1=
1 |
3 |
m |
2m+1 |
n |
2n+1 |
若T1,Tm,Tn成等比数列,则(
m |
2m+1 |
1 |
3 |
n |
2n+1 |
即
m2 |
4m2+4m+1 |
n |
6n+3 |
由
m2 |
4m2+4m+1 |
n |
6n+3 |
3 |
n |
-2m2+4m+1 |
m2 |
∴1-
| ||
2 |
| ||
2 |
又m∈N,且m>1,所以m=2,此时n=12…(12分)
因此,当且仅当m=2,n=12时,数列T1,Tm,Tn中的T1,Tm,Tn成等比数列.…(13分)
核心考点
试题【已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前 n项和,且满足a2n=S2n-1,n∈N*.数列{bn}满足bn=1an•an+1,Tn为数列{】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
n |
A.1+n+lnn | B.1+nlnn | C.1+(n-1)lnn | D.1+lnn |
(1)设an=2n-1,bn=(-
1 |
2 |
(2)设数列{cn}为“p-摆动数列”,c1>p,求证:对任意正整数m,n∈N*,总有c2n<c2m-1成立;
(3)设数列{dn}的前n项和为Sn,且Sn=(-1)n•n,试问:数列{dn}是否为“p-摆动数列”,若是,求出p的取值范围;若不是,说明理由.
(1)证明:数列{
an-1 |
2n |
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
1 |
2 |
(I)求数列{an}的首项a1;
(II)求数列{an}的通项公式;
(III)设数列{nan}的前n项和为Tn,不等式2Tn≤(2n+4)Sn+3是否对一切正整数n恒成立?若不恒成立,请求出不成立时n的所有值;若恒成立,请给出证明.
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