题目
题型:浦东新区一模难度:来源:
(1)设an=2n-1,bn=(-
1 |
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(2)设数列{cn}为“p-摆动数列”,c1>p,求证:对任意正整数m,n∈N*,总有c2n<c2m-1成立;
(3)设数列{dn}的前n项和为Sn,且Sn=(-1)n•n,试问:数列{dn}是否为“p-摆动数列”,若是,求出p的取值范围;若不是,说明理由.
答案
不妨取n=1,则1<p<3,取n=2,则3<p<5,显然常数p不存在,
所以数列{an}不是“p-摆动数列”;
而数列{bn}是“p-摆动数列”,p=0.
由bn=(-
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2 |
1 |
2 |
所以数列{bn}是“p-摆动数列”.
(2)由数列{cn}为“p-摆动数列”,c1>p,即存在常数p,使对任意正整数n,总有(cn+1-p)(cn-p)<0成立.
即有(cn+2-p)(cn+1-p)<0成立.则(cn+2-p)(cn-p)>0,
所以c1>p>⇒c3>p⇒…⇒c2m-1>p,
同理(c2-p)(c1-p)<0⇒c2<p⇒c4<p⇒…⇒c2n<p,
所以c2n<p<c2m-1.
因此对任意的m,n∈N*,都有c2n<c2m-1成立.
(3)当n=1时,d1=-1,
当n≥2,n∈N*时,dn=Sn-Sn-1=(-1)n(2n-1),
综上,dn=(-1)n(2n-1),
则存在p=0,使对任意正整数n,总有dndn+1=(-1)2n+1(2n-1)(2n+1)<0成立,
所以数列{dn}是“p-摆动数列”;
当n为奇数时dn=-2n+1递减,所以dn≤d1=-1,只要p>-1即可,
当n为偶数时dn=2n-1递增,dn≥d2=3,只要p<3即可.
综上-1<p<3.
所以数列{dn}是“p-摆动数列”,p的取值范围是(-1,3).
核心考点
试题【定义数列{xn},如果存在常数p,使对任意正整数n,总有(xn+1-p)(xn-p)<0成立,那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”.(1)设an=2n-1,】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)证明:数列{
an-1 |
2n |
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
1 |
2 |
(I)求数列{an}的首项a1;
(II)求数列{an}的通项公式;
(III)设数列{nan}的前n项和为Tn,不等式2Tn≤(2n+4)Sn+3是否对一切正整数n恒成立?若不恒成立,请求出不成立时n的所有值;若恒成立,请给出证明.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有:
c1 |
b1 |
c2 |
b2 |
cn |
bn |
| ||||||
n |
(1)求数列{an}的倒均数是Vn=
n+1 |
2 |
(2)设等比数列{bn}的首项为-1,公比为q=
1 |
2 |
(1)在递增数列{an}中,an与an+1是关于x的方程x2-4nx+4n2-1=0(n为正整数)的两个根.求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列;
(2)对(1)中的数列{an},判断数列S1→3,S4→6,S7→9,…,S3k-2→3k的类型,并证明你的判断.
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