已知两个数列{Sn}、{Tn}分别：当n∈N*，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，Tn=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n．（1）求S1 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知两个数列{S_n}、{T_n}分别：
当n∈N^*，S_n=1-

+…+

2n-1

，T_n=

n+1

n+2

n+3

+…+

．
（1）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（2）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明．

答案

（1）S₁=1-

，S₂=1-

T₁=

1+1

，T₂=

2+1

2+2

（2分）
（2）猜想：S_n=T_n（n∈N*），即：
1-

+…+

2n-1

n+1

n+2

n+3

+…+

．
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S₁=T₁（6分）
②假设n=k时，S_k=T_k（k≥1，k∈N*），
即：1-

+…+

2k-1

k+1

k+2

k+3

+…+

（8分）
则：S_k+1=S_k+

2k+1

2(k+1)

=T_k+

2k+1

2(k+1)

（10分）
=

k+1

k+2

k+3

+…+

2k+1

2(k+1)

（11分）
=

k+2

k+3

+…+

2k+1

k+1

2(k+1)

)
=

(k+1)+1

(k+1)+2

+…+

2k+1

2(k+1)

=T_k+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，S_n=T_n都成立．（14分）

核心考点

试题【已知两个数列{Sn}、{Tn}分别：当n∈N*，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，Tn=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n．（1）求S1】；主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]

举一反三

设函数f（x）=x^m+ax的导数为f′（x）=2x+1，则数列{

f(n)

}(n∈N*)的前n项和为______．

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在函数f（x）=2^x-1的图象上，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n-12（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，当T_n最小时，求n的值；
（3）求不等式T_n＜b_n的解集．

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设函数f(x)=

x3+nx2+(n2-1)x+

n的导函数在区间[n，+∞）上的最小值为a_n（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）设bn=

an2

，求数列b_n]的前n项的和S_n．

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已知数列{a_n}的通项公式an=

n(n+1)

，则前n项和S_n=______．

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定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一常数，那么这个数列叫“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列{a_n}是等积数列，且a₁=2，公积为5，则这个数列的前n项和S_n的计算公式为：______．

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