题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足递推关系式a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15
（1）求a₁，a₂，a₃
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）求数列{a_n}的前n项和S．

答案

（1）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15
，可知a₄=2a₃+1，解得a₃=7，
同理可得，a₂=3，a₁=1．
（2）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）可知a_n+1=2a_n-1+2，（n≥2），
∴数列{a_n+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．
（3）∵a_n=2ⁿ-1．
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-n-2．