题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证数列{bn}为等差数列,并求其通项公式;
(2)设cn=1+
1 | ||
|
1 | ||
|
cn |
答案
故bn-1=a12+a22+…+an2+an+12-a1a2…anan+1②. …(2分)
②-①,得 bn-1-bn-2=an+12-a1a2…an(an+1-1)=an+12-(an+1+1)(an+1-1)=1,为常数,
所以,数列{bn}为等差数列. …(5分)
因 b1=a12+a22+a32-a1a2a3=4,故 bn=n+3. …(8分)
方法二 当n≥3时,a1a2…an=1+an+1,a1a2…anan+1=1+an+2,
将上两式相除并变形,得 an+12=an+2-an+1+1.…(2分)
于是,当n∈N*时,bn=a12+a22+…+an+22-a1a2…an+2
=a12+a22+a32+(a5-a4+1)+…+(an+3-an+2+1)-a1a2…an+2
=a12+a22+a32+(an+3-a4+n-1)-(1+an+3)
=10+n-a4.
又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3(n∈N*).
所以数列{bn}为等差数列,且bn=n+3. …(8分)
(2)因 cn=1+
1 |
(n+3)2 |
1 |
(n+4)2 |
((n+3)(n+4)+1)2 |
(n+3)2(n+4)2 |
故
cn |
(n+3)(n+4)+1 |
(n+3)(n+4) |
1 |
(n+3)(n+4) |
1 |
n+3 |
1 |
n+4 |
所以 Sn=(1+
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
5 |
1 |
6 |
1 |
n+3 |
1 |
n+4 |
1 |
4 |
1 |
n+4 |
即 n<Sn<n+1. …(16分)
核心考点
试题【已知数列{an}满足:a1=a2=a3=2,an+1=a1a2…an-1(n≥3),记bn-2=a12+a22+…+an2-a1a2…an(n≥3).(1)求证】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
a1 |
1 |
a2 |
1 |
an-1 |
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)求数列{
bn |
an |
(1)求a2,a3的值;
(2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
|
(Ⅰ)当a=100时,求数列{an}的前100项的和S100;
(Ⅱ)证明:对于数列{an},一定存在k∈N*,使0<ak≤3.
1 |
2 |
(1)求a2,a3.
(2)求数列{an}的通项an;
(3)求数列{nan}的前n项和Tn.
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