题目

题型：河南模拟难度：来源：

已知数列{a_n}．{b_n}满足：a₁=b₁=1，a₄=b₈，a_n+1=2a_n+1，b_n+2-2b_n+1+b_n=0，n∈N^*
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

答案

（I）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），…（2分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，n∈N^*．                  …（4分）
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴bn+1=

bn+2+bn

2

，n∈N^*，∴{b_n}是等差数列．
∵b₁=1，b₈=a₄=15，∴d=2，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1，n∈N^*．                     …（6分）
（II）∵a_n•b_n=（2n-1）（2ⁿ-1）=（2n-1）•2ⁿ-（2n-1），
∴S_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ-（1+3+…+2n-1）．…（7分）
设A=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
则2A=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，…（9分）
以上两式相减得：A=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6，
因此，S_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6-n²．                     …（12分）