题目
题型:顺义区一模难度:来源:
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)设数列{bn}满足:b1=0,bn+1+bn=an,求数列{bn}的前n项和公式;
(III)在第(II)问的条件下,若对于任意的n∈N*不等式bn<λbn+1恒成立,求实数h(-1)=-
1 |
3 |
答案
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,
当n=1时,a1=S1=21+1-2=2也满足上式,
所以an=2n(n∈N*).…(3分)
(II)由(I)可知bn+1+bn=2n(n∈N*),即bk+1+bk=2k(k∈N*).
当k=1时,b2+b1=21,…①
当k=2时,b3+b2=22,所以-b3-b2=-22,…②
当k=3时,b4+b3=23,…③
当k=4时,b5+b4=24,所以-b5-b4=-24,…④
…
…
当k=n-1时(n为偶数),bn+bn-1=2n-1,所以-bn-bn-1=-2n-1…n-1
以上n-1个式子相加,得bn+b1=2-22+23-24+…+2n-1
=
2[1-(-2)n-1] |
1-(-2) |
2(1+2n-1) |
3 |
2n |
3 |
2 |
3 |
所以,当n为偶数时,bn=
2n |
3 |
2 |
3 |
同理,当n为奇数时,-bn+b1=2-22+23-24+…-2n-1
=
2[1-(-2)n-1] |
1-(-2) |
2-2n |
3 |
所以,当n为奇数时,bn=
2n |
3 |
2 |
3 |
因此,当n为偶数时,数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn
=(
2 |
3 |
2 |
3 |
22 |
3 |
2 |
3 |
23 |
3 |
2 |
3 |
24 |
3 |
2 |
3 |
2n |
3 |
2 |
3 |
=
2 |
3 |
22 |
3 |
2n |
3 |
1 |
3 |
2(1-2n) |
1-2 |
2n+1 |
3 |
2 |
3 |
当n为奇数时,数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn-1+bn
=(
2 |
3 |
2 |
3 |
22 |
3 |
2 |
3 |
2n-1 |
3 |
2 |
3 |
2n |
3 |
2 |
3 |
=(
2 |
3 |
22 |
3 |
2n |
3 |
2 |
3 |
2n+1 |
3 |
4 |
3 |
故数列{bn}的前n项和Tn=
|
(III)由(II)可知bn=
|
①当n为偶数时,
bn |
bn+1 |
| ||||
|
2n+2 |
2n+1-2 |
1 |
2 |
3 |
2n+1+2 |
所以
bn |
bn+1 |
从而,当n为偶数时,
bn |
bn+1 |
b2 |
b3 |
②当n为奇数时,
bn |
bn+1 |
| ||||
|
2n-2 |
2n+1+2 |
1 |
2 |
3 |
2n+1+2 |
所以
bn |
bn+1 |
bn |
bn+1 |
1 |
2 |
3 |
2n+1+2 |
1 |
2 |
综上,
bn |
bn+1 |
因此,若对于任意的n∈N*,不等式bn<λbn+1恒成立,只需λ>1,
故实数λ的取值范围是(1,+∞).…(13分)
核心考点
试题【已知数列{an}的前n项和为Sn,且点(n,Sn)在函数y=2x-1-2的图象上.(I)求数列{an}的通项公式;(II)设数列{bn}满足:b1=0,bn+1】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.1-4n | B.4n-1 | C.
| D.
|
1 |
2 |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:
1 |
a12 |
1 |
a22 |
1 |
a32 |
1 |
an2 |
7 |
4 |
bn-1 |
1+bn-1 |
(1)求证:数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)求数列{
1 |
an+2bn |
(2)设数列an的前n项和为Sn=2n2,则数列an的通项公式为______.
1 |
n(n+1) |
1 | ||||
|
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