已知数列{an}满足：an=logn+1（n+2）（n∈N*），定义使a1•a2•a3…ak为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则区间[1，2013]内所有的企 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），定义使a₁•a₂•a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做企盼数，则区间[1，2013]内所有的企盼数的和为（　　）

A．1001

B．2026

C．2030

D．2048

答案

∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

，（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

•

log24

log23

•

log25

log24

…

log2(k+2)

log2k

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2013]，∴1≤2ⁿ-2≤2013，∴取2≤n≤10；
∴区间[1，2013]内所有的企盼数的和为：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22-211

1-2

-2×9=2026；
故选：B．

核心考点

试题【已知数列{an}满足：an=logn+1（n+2）（n∈N*），定义使a1•a2•a3…ak为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则区间[1，2013]内所有的企】；主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]

举一反三

在数列{a_n}中，a₁=16，数列{b_n}是公差为-1的等差数列，且b_n=log₂a_n
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{b_n}中，若存在正整数p，q使b_p=q，b_q=p（p＞q），求p，q得值；
（Ⅲ）若记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和S_n．

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等比数列