题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

在单调递增数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_2n-1，a_2n，a_2n+1成等差数列，a_2n，a_2n+1，a_2n+2成等比数列，n=l，2，3，…．
(Ⅰ)分别计算a₃，a₅和a₄，a₆的值；
(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式（将a_n用n表示）；
(Ⅲ)设数列的前n项和为S_n，证明：，n∈N*。

答案

解：(Ⅰ)由已知得。
(Ⅱ)，，…
，…
∴猜想：，
以下用数学归纳法证明之。
①当n=1时，，猜想成立；
②当n=k（k≥1，k∈N*）时，猜想成立，即，
那么
，

，
∴n=k+1时，猜想成立，
由①②，根据数学归纳法原理，对任意n∈N*，猜想成立；
∴当n为奇数时，；
当n为偶数时，；
即数列{a_n}的通项公式为。
 (Ⅲ)由(Ⅱ)得，
显然；
当n为偶数时，



；
当n为奇数时，



综上所述，。