题目

题型：天津高考真题难度：来源：

已知等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），等比数列{b_n}的公比为q（q>1），设S_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n，T_n=a₁b₁-a₂b₂+…+（-1）^n-1a_nb_n，n∈N*。
（1）若a₁=b₁=1，d=2，q=3，求S₃的值。
（2）若b₁=1，证明：（1-q）S_2n-（1+q）T_2n=，n∈N*。
（3）若正整数n满足2≤n≤q，设k₁，k₂，…k_n和l₁，l₂，…l_n是1，2，…，n的两个不同的排列，c₁=，c₂=，证明c₁≠c₂。

答案

解：（1）由题设，可得

所以；
（2）由题设，可得

则

①式减去②式，得

①式加上②式，得

③式两边同乘q，得

所以

；
（3）证明：

因为d≠0，b₁≠0，
所以
（i）若k_n≠l_n，取i=n
（ii）若k_n=l_n，取i满足
由（i），（ii）及题设知，1＜i≤n，且



即

又
所以

因此
即。
②当时，同理可得

因此
综上。