题目

题型：模拟题难度：来源：

设正整数数列{a_n}满足：a₁=2，a₂=6，当n≥2时，有|a²_n-a_n-1a_n+1|＜a_n-1。
（1）求a₃、a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记T_n=，证明：对任意的n∈N*，都有T_n＜。

答案

解：（1）n=2时，
由已知a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，
因为a₃为正整数，
所以a₃=18，同理a₄=54。
（2）由（1）可猜想：a_n=2·3^n-1，（*）
给出证明：①n=1，2时（*）式成立；
②假设当n=k-1与n=k时（*）式成立，即

于是
整理得
于是得
因为a_k+1为正整数，
所以
即当n=k+1时（*）式仍成立
综上所述，对于任意的n∈N*，有成立
故数列{a_n}的通项公式为。
（3）由
得






故。