题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，P₁（x₁，y₁）、P₂ （x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上， 且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）。
（1）写出a₁、a₂、a₃；
（2）求出点A_n（a_n，0）（n∈N*）的横坐标a_n关于n的表达式；
（3）设，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t²-2mt+＞b_n恒成立，求实数t的取值范围。

答案

解：（1）。
（2）依题意，得
由此及
得
即
由（1）可猜想：
下面用数学归纳法予以证明：
①当n=1时，命题显然成立；
②假定当n=k时命题成立，即有
则当n=k+1时，由归纳假设及

得
即
解之得不合题意，舍去）
即当n=k+1时，命题成立
由①、②知命题成立，即。
（3）


令
则
所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当x=1时，f（x）取得最小值3，
即当n=1时，


即
解之得，t>2或t＜-2
故实数t的取值范围为（-∞，-2）∪ （2，+∞）。