题目

题型：专项题难度：来源：

已知数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=，a_n+b_n=1，b_n+1=，
(Ⅰ)求b₁，b₂，b₃，b₄；
(Ⅱ)求数列{b_n}的通项公式；
(Ⅲ)设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求实数a为何值时，4aS_n＜b_n恒成立．

答案

解：(Ⅰ)，
，
∴。
(Ⅱ)，
∴，
∴数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列，
∴，
∴。
(Ⅲ)，
∴
，
∴，
由条件可知(a-1)n²+(3a-6)n-8＜0恒成立即可满足条件，
设f(n)=(a-1)n²+(3a-6)n-8，
当a=1时，f(n)=-3n-8＜0恒成立；
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立；
当a＜1时，对称轴，
f(n)在[1，+∞)为单调递减函数，
f(1)=(a-1)n²+(3a-6)n-8=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15＜0，
∴，
∴a＜1时，4aS_n＜b恒成立；
综上知：a≤1时，4aS_n＜b恒成立．