题目

题型：模拟题难度：来源：

设数列{a_n}是首项为1的正项数列，且（n+1）a²_n+1-na²_n+a_n+1a_n=0（n=1，2，3，…）。
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设f（x）=xln（1+），试判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）设b_n=，证明：ln2≤b_n＜ln3。

答案

解：（1）
得
∴
∴

∵时，
∴。
（2）∵
设x>0，令则t>0
∴，且
∵t>0，若g"（t）＜0，则
令
则
∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，
∴h（t）>h（0）=0
∴g"（t）＜0在（0，+∞）上恒成立
从而在（0，+∞）上是增函数。
（3）∵
设
则



∴。