题目
题型:四川省月考题难度:来源:
(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求an+1=f(an)的不动点的值;
(Ⅱ)若a1=2,bn=,求证:数列{lnbn}是等比数列,并求数列{bn}的通项;
(Ⅲ)当任意n∈N*时,求证:b1+b2+b3+…+bn<。
答案
解得an=0,或an=-1,或an=1;
(Ⅱ)∵an+1+1=+1=,
an+1-1=-1=,
∴两式相除得,即bn+1=bn3,
由a1=2可以得到bn>0,
则lnbn+1=3lnbn,
又b1=,
得lnb1=-ln3,
∴数列{lnbn}是以-ln3为首项,3为公比的等比数列,
∴lnbn=(-ln3)·3n-1=,
从而bn=(n∈N*)。
(Ⅲ)证明:任意n∈N*,3n-1≥n,
∴bn=≤,
从而b1+b2+b3+…+bn<+()2+()3+…+()n
=。
核心考点
试题【已知数列{an}满足an+1=,(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求an+1=f(an)的不动点的值;(Ⅱ)若a1=2,bn=,求证:数】;主要考察你对数列综合等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求证:xn>3;
(Ⅱ)求证:xn+1<xn;
(Ⅲ)求数列{xn}的通项公式。
(1)记bn=an+n+1,求证:数列{bn}是等比数列,并写出数列{an}的通项公式;
(2)在(1)的条件下,记,数列{cn}的前n项和为Sn。求证:Sn<。