题目

题型：模拟题难度：来源：

已知a＞0，数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=a+，n=1，2，…。
（1）已知数列{a_n}极限存在且大于零，求A=（将A用a表示）；
（2）设b_n=a_n-A，n=1，2，…，证明：；
（3）若|b_n|≤对n=1，2，…都成立，求a的取值范围。

答案

解：（1）由存在，且，对两边取极限得
，解得
又
∴。
（2）由得
∴
即对n=1，2，3，…都成立。
（3）令，得
∴
∴，解得
现证明当时，对n=1，2，3，…都成立
（i）当n=1时结论成立（已验证）
（ii）假设当n=k（k≥1）时结论成立，即
那么
故只须证明，即证对成立
由于
而当时，
∴
∴，即
故当时，
即n=k+1时结论成立
根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立
故对n=1，2，3，…都成立的a的取值范围为。