题目

题型：吉林省模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足=，求数列{b_n}的通项公式．

答案

解：（1）∵a_n+1=2a_n+1  ∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁=1，
所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以a_n+1=22 ^n﹣1=2ⁿ，a_n=2ⁿ﹣1，
（2）∵=，
∴=
∴2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）﹣2n=n²，
即2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）=n²+2n                                                     ①
当n≥2时，2[b₁+2b₂+3b₃+…（n﹣1）b_n﹣1]=（n﹣1）²+2（n﹣1）②
①﹣②得，2nb_n=2n+1，b_n=1+，
n=1时也适合，所以b_n=1+，