题目

题型：不详难度：来源：

已知等比数列{a_n}共有m项 （ m≥3 ），且各项均为正数，a₁=1，a₁+a₂+a₃=7．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）若数列{b_n}是等差数列，且b₁=a₁，b_m=a_m，判断数列{a_n}前m项的和S_m与数列{bn-

1

2

}的前m项和T_m的大小并加以证明．

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则1+q+q²=7，
∴q=2或q=-3
∵{a_n}的各项均为正数，∴q=2                             
所以a_n=2^n-1
（2）由a_n=2^n-1得S m=2m-1
数列{b_n}是等差数列，b₁=a₁=1，b_m=a_m=2^m-1，
而T_m=（b₁-

1

2

）+（b₂-

1

2

）+（b₃-

1

2

）+…+（b_m-

1

2

）=（b₁+b₂+b₃+…+b_m）-

m

2

=

1+2m-1

2

m-

m

2

=

2m-1

2

m=m•2^m-2
∵T_m-S_m=m•2^m-2-（2^m-1）=（m-4）2^m-2+1
∴当m=3时，T₃-S₃=-1，∴T₃＜S₃．
∴当m≥4时，T_m＞S_m