数列{an}是以a为首项,q为公比的等比数列.令bn=1-a1-a2-…-an,cn=2-b1-b2-…-bn,n∈N*. (1)试用a、q表示bn和cn; (2)若a<0,q>0且q≠1,试比较cn与cn+1的大小; (3)是否存在实数对(a,q),其中q≠1,使{cn}成等比数列.若存在,求出实数对(a,q)和{cn};若不存在,请说明理由. |
(1)当q=1时,bn=1-(a1+a2+…+an)=1-na,cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-=n2+(-1)n+2, 当q≠1时,bn=1-(a1+a2+…+an)=1-cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-(1-)n-(q+q2+…+qn) =2-(1-)n-(1-qn) =2--(1-)n+qn 所以bn=, cn= | n2+(-1)n+2 q=1 | 2--(1-)n+qn q≠1 |
| | ;(4分) (2)因为cn=2--(1-)n+qn, 所以cn+1=2--(1-)(n+1)+qn+1cn+1-cn=-(1-)+(qn+1-qn)=-1+(1-qn+1) 当q>1时,1-q<0,1-qn+1<0; 当0<q<1时,1-q>0,1-qn+1>0, 所以当a<0,q>0且q≠1时,cn+1-cn<0,即cn+1<cn;(5分) (3)因为q≠1,q≠0, 所以cn=2--(1-)n+qn, 因为{cn}为等比数列,则或, 所以或(舍去),所以.(5分) |
核心考点
试题【数列{an}是以a为首项,q为公比的等比数列.令bn=1-a1-a2-…-an,cn=2-b1-b2-…-bn,n∈N*.(1)试用a、q表示bn和cn;(2)】;主要考察你对
等比数列等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件:an=f(an-1)(n=2,3,4,…),f(an)-f(an-1)=(n=2,3,4,…),若a1=30,a2=60,令bn=an+1-an(n∈N+). (I)证明数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式; (II)设cn=log2bn,Sn=c1+c2+c3+…+cn,求使Sn取最大值时的n值. |
设{an}是等比数列,Sn为{an}的前n项和,且=,则=( ) |
已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,都有an=(Sn+n). (1)求证:数列{an+1}是等比数列,并求{an}的通项公式. (2)求数列{nan}的前n项和Tn. |
设{an}是公比为q的等比数列,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}的连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q等于( ) |
设无穷数列{an}系:a1=1,2an+1-an=(n≥1) (1)求a2,a3 (2)若bn=an-,求证数列{bn}是等比数列 (3)若Sn为数列{an}前n项的和,求Sn. |