题目

题型：不详难度：来源：

已知数列的前项和满足.
（1）写出数列的前三项；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对任意的整数，有.

答案

（１）　由由
由
（２）
（３）见解析.

解析

.
（1）因为数列的前项和满足，那么对于n令值，边可以写出数列的前三项；
（2）根据前几项归纳猜想数列的通项公式；再用数学归纳法加以证明。或者里利用迭代思想，得到通项公式。
（3）利用放缩法得到求和，并证明不等式。
（１）为了计算前三项的值，只要在递推式中，对取特殊值，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．
　由
由
由
（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的．事实上
当时，有
 
即有　
从而　
　　　
…… 

接下来，逐步迭代就有


经验证a₁也满足上式，故知
其实，将关系式和课本习题作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对的两边同除以，便得
　　　　　　　　　．
令就有
，
于是        ，
这说明数列是等比数列，公比　首项，从而，得
　　　　　，
即　　　　，
故有
（３）由通项公式得
当且n为奇数时， 

当为偶数时，


当为奇数时，为偶数，可以转化为上面的情景

故任意整数m>4，有