题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知数列{a_n}满足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，为数列{a_n}的前项和．
(1) 若，求的值；
(2) 求数列{a_n}的通项公式；
(3) 当时，数列{a_n}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

答案

（1）；（2）数列{a_n}中存在a₁、a₂、a₃或a₃、a₂、a₁成等差数列。

解析

试题分析：(1) 令，得到，令，得到。…………2分
由，计算得．……………………………………………………4分
(2) 由题意，可得：
，所以有
，又，……………………5分
得到：，故数列从第二项起是等比数列。……………7分
又因为，所以n≥2时，……………………………8分
所以数列{a_n}的通项…………………………………10分
(3) 因为  所以……………………………………11分
假设数列{a_n}中存在三项a_m、a_k、a_p成等差数列，
①不防设m>k>p≥2，因为当n≥2时，数列{a_n}单调递增，所以2a_k=a_m+a_p
即：2´()´4^k–2 = ´4^m–2 + ´4^p–2，化简得：2´4^{k - p}= 4^m–p+1
即2^2k–2p+1=2^2m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，
故有：m=p=k，和题设矛盾………………………………………………………………14分
②假设存在成等差数列的三项中包含a₁时，
不妨设m=1，k>p≥2且a_k>a_p，所以2a_p = a₁+a_k ，
2´()´4^p–2 = – + ()´4^k–2，所以2´4^p–2= –2+4^k–2，即2^2p–4 = 2^2k–5 – 1
因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k=3且p=2时成立………………………………………16分
因此，数列{a_n}中存在a₁、a₂、a₃或a₃、a₂、a₁成等差数列……………………………18分
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力及考查了学生通过已知条件分析问题和解决问题的能力．题目较难。