题目

题型：不详难度：来源：

（2013•湖北）已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=﹣18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得S_n≥2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

答案

（1）a_n=（﹣）×（﹣2）ⁿ
（2）存在，见解析

解析

（1）设数列{a_n}的公比为q，显然q≠1，由题意得，解得q=﹣2，a₃=12，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₃•q^n﹣3=12×（﹣2）^n﹣3=（﹣）×（﹣2）ⁿ．
（2）由（1）有a_n=（﹣）×（﹣2）ⁿ．若存在正整数n，使得S_n≥2013，则S_n==1﹣（﹣2）ⁿ，即1﹣（﹣2）ⁿ≥2013，
当n为偶数时，2ⁿ≤﹣2012，上式不成立；
当n为奇数时，1+2ⁿ≥2013，即2ⁿ≥2012，则n≥11．
综上，存在符合条件的正整数n=2k+1（k≥5），且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1（k≥5）}．