题目

题型：不详难度：来源：

设S_n=1+2+3=…+n，n∈N^*，则f（n）=

Sn

(n+7)Sn+1

的最大值为______．

答案

∵S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴f（n）=

Sn

(n+7)Sn+1

=

n(n+1) 2

(n+7)• (n+1)(n+2) 2

=

n

(n+7)(n+2)

=

1

n+9+ 14 n

．
∵n+

14

n

≥2

14

，∴

1

n+9+ 14 n

≤

1

9+2 14

=

9-2 14

5

 （当且仅当n=

14

n

 时等号成立）．
又由于n为正整数，故当n=4时，f（n）有最大值为

1

4+9+ 14 4

=

2

33

，
故答案为：

2

33

．