题目

题型：不详难度：来源：

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₄=45，a₁+a₅=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

a 2n -1

（n∈N^*），若数列{c_n}满足c₁=-

1

4

，c_n+1-c_n=b_n（n∈N^*）．求数列{c_n}的通项公式c_n；
（Ⅲ）求f（n）=

n

9

-

bn

cn

（n∈N^*）的最小值．

答案

（本小题10分）
（Ⅰ）因为数列{a_n}是等差数列，
所以a₁+a₅=a₂+a₄=14．
因为d＞0，a₂•a₄=45
所以解方程组可得，a₂=5，a₄=9．（2分）
所以a₁=3，d=2．
所以a_n=2n+1．
因为S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d，
所以S_n=n²+2n．
数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1，前n项和公式S_n=n²+2n．（4分）
（Ⅱ）因为b_n=

1

a 2n -1

（n∈N^*），a_n=2n+1，
所以b_n=

1

4n(n+1)

．
因为数列{c_n}满足c₁=-

1

4

，c_n+1-c_n=

1

4n(n-1)

，
所以c_n+1-c_n=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）．
c_n-c_n+1=

1

4

（

1

n+1

-

1

n

）
…
c₂-c₁=

1

4

（1-

1

2

）
以上各式相加得：c_n+1-c₁=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．
因为c₁=

1

4

，
所以cn+1=-

1

4(n+1)

．
所以cn=-

1

4n

．（7分）
（Ⅲ）因为f（n）=

n

9

-

bn

cn

，b_n=

1

4n(n+1)

，c_n=-

1

4n

，
所以f（n）=

n

9

+

1

n+1

．
因为f（n）=

n

9

+

1

n+1

=

n+1

9

+

1

n+1

-

1

9

，
所以

n+1

9

+

1

n+1

-

1

9

≥2

n+1 9 • 1 n+1

-

1

9

f（n）≥

2

3

-

1

9

=

5

9

，当且仅当

n+1

9

=

1

n+1

，即n=2时等号成立．
当n=2时，f（n）最小值为

5

9

．（10分）