题目

题型：上海市模拟题难度：来源：

已知数列，如果数列满足，，其中，则称为的“生成数列”.
（1）若数列的，求；
（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；
（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，…，依次将数列，，，…的第项取出，构成数列…，证明：是等差数列.

答案

解：（1）由题意得： ；；
；                        
.    
（2）因为 ， ， ，
，                              
由于为偶数，将上述个等式中的第2,4,6,…，n这个式子都乘以，
相加得……
即，.                                    
由于，，
根据“生成数列”的定义知，数列是的” “生成数列”       
（3）证明：设数列,,中后者是前者的“生成数列”.
欲证成等差数列，只需证明成等差数列，
即只要证明即可.  
由（2）中结论可知 ，




，
所以，，即成等差数列，
所以是等差数列.