题目

题型：不详难度：来源：

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₅-1）³+2011（a₅-1）=1，（a₂₀₀₇-1）³+2011（a₂₀₀₇-1）=-1，则下列结论正确的是（　　）

A．S2011=2011，a2007＜a5	B．S2011=2011，a2007＞a5
C．S2011=-2011，a2007≤a5	D．S2011=-2011，a2007≥a5

答案

令f（x）=x³+2011x-1，g（x）=x³+2011x+1
f′（x）=3x²+2011＞0
f（x）在R上单调递增且连续的函数
f（0）=-1＜0，f（1）=2011＞0
函数f（x）=x³+2011x-1只有唯一的零点x₀∈（0，1）
从而可得0＜a₅-1＜1，1＜a₅＜2，-1＜a₂₀₀₇＜0∴a₂₀₀₇＜a₅
∵（a₅-1）³+2011（a₅-1）=1，（a₂₀₀₇-1）³+2011（a₂₀₀₇-1）=-1
两式相加整理可得，（a₅+a₂₀₀₇-2）[（a₅-1）²+（a₂₀₀₇-1）²-（a₅-1）（a₂₀₀₇-1）+2011]=0
由0＜a₅-1＜1，-1＜a₂₀₀₇-1＜0可得（a₅-1）²+（a₂₀₀₇-1）²-（a₅-1）（a₂₀₀₇-1）+2011＞0
∴a₅+a₂₀₀₇-2=0
由等差数列的性质可得，a₁+a₂₀₁₁=a₅+a₂₀₀₇=2
∴S2011=

2011(a1+a2011)

2

=2011
故选：A