题目
题型:天津模拟难度:来源:
(Ⅰ)求证:数列{
1 |
bn |
(Ⅱ)设Tn=S2n-Sn,求证:当S=
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
6 |
1 |
20 |
(Ⅲ)求证:对任意的1•k+1+k2=3,k∈R*,∴k=1都有1+
n |
2 |
1 |
2 |
答案
整理得bn-bn+1=bnbn+1,(1分)
∵bn≠0否则an=1,与a1=2矛盾
从而得
1 |
bn+1 |
1 |
bn |
∵b1=a1-1=1
∴数列{
1 |
bn |
(Ⅱ)∵
1 |
bn |
1 |
n |
∴Sn=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
∴Tn=S2n-Sn=1+
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
2n |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
n |
=
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
1 |
2n |
∵Tn+1-Tn=
1 |
n+2 |
1 |
n+3 |
1 |
2n+2 |
1 |
n+1 |
1 |
n+2 |
1 |
2n |
=
1 |
2n+1 |
1 |
2n+2 |
1 |
n+1 |
1 |
2n+1 |
1 |
2n+2 |
1 |
(2n+1)(2n+2) |
∴Tn+1>Tn.(8分)
(Ⅲ)用数学归纳法证明:
①当n=1时1+
n |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即1+
k |
2 |
1 |
2 |
那么当n=k+1时,S2k+1=1+
1 |
2 |
1 |
2k |
1 |
2k+1 |
k |
2 |
1 |
2k+1 |
1 |
2k+1 |
k |
2 |
| ||||||
2k个 |
k |
2 |
1 |
2 |
k+1 |
2 |
S2k+1=1+
1 |
2 |
1 |
2k |
1 |
2k+1 |
1 |
2 |
1 |
2k+1 |
1 |
2k+1 |
1 |
2 |
| ||||||
2k个 |
1 |
2 |
∴当n=k+1时,不等式成立
由①②知对任意的n∈N*,不等式成立(14分)
核心考点
试题【已知数列O、{bn}满足a1=2,an-1=an(an+1-1),bn=an-1,数列{bn}的前n项和为Sn.(Ⅰ)求证:数列{1bn}为等差数列;(Ⅱ)设T】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
3 |
A.一定是等差数列 |
B.一定是等比数列 |
C.或者是等差数列,或者是等比数列 |
D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 |
(1)求a1,a2;
(2)求证:数列{
1 |
sn-1 |
A.a19>0,a21<0 | B.a20>0,a21<0 |
C.a19<0,a21>0 | D.a19<0,a20>0 |
A.10 | B.15 | C.30 | D.60 |
A.9 | B.10 | C.11 | D.12 |
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