设P₁（x₁，y₁），P₁（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²，a₂=|OP₂|²，…，a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（1）若C的方程为

x2

9

-y²=1，n=3．点P₁（3，0） 及S₃=162，求点P₃的坐标；（只需写出一个）
（2）若C的方程为y²=2px（p≠0）．点P₁（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x₁+p）²，（x₂+p）²，…，（x_n+p）²成等差数列；
（3）若C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．点P₁（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值．

符号意义	本试卷所用符号	等同于《实验教材》符号
向量坐标	a ={x，y}	a =（x，y）
正切	tg	tan
（1）a1=|OP1|2=9，由S3= 3 2 （a1+a3）=162，得a3=|OP3|3=99． 由 x2 9 -y2=1 x2+ y2=99 得 x2=90 y2=9 ∴点P3的坐标可以为（3 10 ，3）． （2）对每个自然数k，1≤k≤n，由题意|OPk|2=（k-1）d， 及 y 2k =2pxk x 2k + y 2k =(k-1)d 即（xk+p）2=p2+（k-1）d， ∴（x1+p）2，（x2+p）2，…（xn+p）2是首项为p2，公差为d的等差数列． （3）原点O到二次曲线 C： x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0）上各点的最小距离为b，最大距离为a． ∵a1=|OP1|2=a2，∴d＜0，且an=|OPn|2=a2+（n-1）d≥b2， ∴ b2-a2 n-1 ≤d＜0．∵n≥3， n(n-1) 2 ＞0 ∴Sn=na2+ n(n-1) 2 d在[ b2-a2 n-1 ，0）上递增， 故Sn的最小值为na2+ n(n-1) 2 • b2-a2 n-1 = n(a2+b2) 2 ．
设点An（xn，0），Pn（xn，2n-1）和抛物线Cn：y=x2+anx+bn（n∈N*），其中an=-2-4n- 1 2n-1 ，xn由以下方法得到：x1=1，点P2（x2，2）在抛物线C1：y=x2+a1x+b1上，点A1（x1，0）到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点Pn+1（xn+1，2n）在抛物线Cn：y=x2+anx+bn上，点An（xn，0）到Pn+1的距离是An到Cn上点的最短距离． （Ⅰ）求x2及C1的方程． （Ⅱ）证明{xn}是等差数列．
已知，数列{an}有a1=a，a2=2，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足Sn= n(an-a1) 2 ． （1）求a的值； （2）求证数列{an}是等差数列； （3）对于数列{bn}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn＜b且 lim n→∞ bn=b，则称b为数列{bn}的“上渐进值”，令pn= Sn+2 Sn+1 + Sn+1 Sn+2 ，求数列{p1+p2+…+pn-2n}的“上渐进值”．
在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn．
已知数列{an}的前n项和Sn=50n-n2（n∈N*） （1）求证{an}是等差数列． （2）设bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn （3）求 lim n→∞ （ Sn Tn ）的值．
已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、lga2、lga4成等差数列．又bn= 1 a2n ，n=1，2，3，…． （Ⅰ）证明{bn}为等比数列； （Ⅱ）如果无穷等比数列{bn}各项的和S= 1 3 ，求数列{an}的首项a1和公差d． （注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前项和的极限）