题目
题型:江苏一模难度:来源:
8 |
2n |
(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an•bn}中最大项;
(3)求证:对于给定的实数λ,一定存在正整数k,使得当n≥k时,不等式λSn<bn恒成立.
答案
8 |
2n |
∴n≥2时,an-1+Sn-1=3-
8 |
2n-1 |
两式相减可得2an-an-1=
8 |
2n-1 |
8 |
2n |
∴2an-an-1=
4 |
2n-1 |
∴2nan-2n-1an-1=4
∵bn=2n•an
∴bn-bn-1=4
∵n=1时,a1+S1=3-
8 |
21 |
1 |
2 |
∴b1=21•a1=-1
∴数列{bn}是以-1为首项,4为公差的等差数列
∴bn=4n-5,an=
4n-5 |
2n |
(2)an•bn=
(4n-5)2 |
2n |
令f(n)=
(4n-5)2 |
2n |
f(n+1) |
f(n) |
(4n-1)2 |
2(4n-5)2 |
令
(4n-1)2 |
2(4n-5)2 |
∴n>5时,
f(n+1) |
f(n) |
f(n+1) |
f(n) |
∴数列从第一项到第四项,单调递增,从第五项开始,单调递减
所以最大项是第四项
121 |
16 |
(3)证明:∵an=
4n-5 |
2n |
∴数列{an}的前n项和为Sn=(-1)×
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n |
∴
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n |
1 |
2n+1 |
两式相减可得
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n |
1 |
2n+1 |
∴Sn=3-(4n+3)×
1 |
2n |
∴S1=-
1 |
2 |
∴Sn的值域[-
1 |
2 |
∵bn=4n-5,∴bn的值域[-1,+∞),
∴对于给定的实数λ,一定存在正整数k,使得当n≥k时,不等式λSn<bn恒成立.
核心考点
试题【已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=3-82n,设bn=2n•an.(1)求证:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)求数列】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足an=log3bn,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N*,有am+am+1=ak?说明理由;
(2)找出所有数列{an}和{bn},使对一切n∈N*,
an+1 |
an |
(3)若a1=5,d=4,b1=q=3,试确定所有的p,使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项,请证明.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若an=log2bn+3,求证数列{an}是等差数列;
(Ⅲ)若a1+a2+a3+…+am≤a40,求m的最大值.
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