已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为2的等差数列. (Ⅰ)求a2,a3; (Ⅱ)证明数列{an-2}为等比数列; (Ⅲ)判断是否存在λ(λ∈Z),使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立,若存在,求出λ的最大值;若不存在,请说明理由. |
(Ⅰ)∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列,∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2, 即an+1=,(2分)∵a1=1,∴a2=, a3=;(4分) (Ⅱ)证明:由题意,得a1-2=-1,∵==,∴{an-2}是首项为-1,公比为的等比数列;(8分) (Ⅲ)由(Ⅱ)得an-2=-()n-1,∴an=2-()n-1,∵{an+Sn}是首项为a1+S1=2,公差为2的等差数列,∴an+Sn=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=2n-2+()n-1,(9分) 设存在整数λ,使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立, 即存在整数λ,使不等式n-1+()n-1≥λ[2-()n-1]对任意的n∈N*成立,∴当n=1时,不等式成立,解得λ≤1,(10分) 以下证明存在最大的整数λ=1,使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立. 当n=2时,不等式化简为≥,成立; 当n≥3时,∵(Sn-n+1)-an=n-3+()n-2>0,∴(Sn-n+1)>an成立. 综上,知存在整数λ,使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立,且λ的最大值为1.(14分) |
核心考点
试题【已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,数列{an+Sn}是公差为2的等差数列.(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ)证明数列{an-2}为等比数列;(Ⅲ)判断是否存在】;主要考察你对
等差数列等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知等差数列{an}满足:a1=-2,a2=0.若将a1,a4,a5都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为______. |
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,.若m>1,且am-1+am+1-=0,S2m-1=38,则m等于______. |
设Sn、Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和,若=,则=______. |
下列数列哪个不是等差数列( )A.1,1,1,1,1 | B.4,7,10,13,16 | C.,,1,, | D.-3,-2,-1,1,2 |
|
已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N*). (1)若{an}是等差数列,且b3=12,求a的值及{an}的通项公式; (2)若{an}是等比数列,求{bn}的前项和Sn. |