题目

题型：不详难度：来源：

某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d＞0），因此，历年所交纳的储备金数目a₁，a₂，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r（r＞0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的储备金就变成a₂（1+r）^n-2，…．以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额．
（Ⅰ）写出T_n与T_n-1（n≥2）的递推关系式；
（Ⅱ）求证T_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列．

答案

（I）根据在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a₁（1+r）^n-1，第二年所交纳的储备金就变成a₂（1+r）^n-2，…，我们有T_n=T_n-1（1+r）+a_n（n≥2）．
（II）T₁=a₁，对n≥2反复使用上述关系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=…=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+…+an-1(1+r)+an，①
在①式两端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+…+an-1(1+r)2+an(1+r)．②
②-①，得rTn=a1(1+r)n+d[(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)]-an，=

d

r

[(1+r)n-1-r]+a1(1+r)n-an，
即T_n=

a1r+d

r2

（1+r）ⁿ-

d

r

n-

a1r+d

r2

如果记A_n=

a1r+d

r2

(1+r)n，B_n=-

d

r

n-

a1r+d

r2

，则T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以

a1r+d

r2

（1+r）为首项，以1+r（r＞0）为公比的等比数列；{B_n}是以-

a1r+d

r2

-

d

r

为首项，-

d

r

为公差的等差数列．