题目
题型:不详难度:来源:
Sn |
Sm |
n |
m |
(Ⅰ)证明:数列{an}是等差数列;
(Ⅱ)若a=1,数列{bn}的首项为b(b≠1),第n(n∈N*,n≥2)项bn是数列{an}的第bn-1项,求证:数列|bn-1|为等比数列;
(Ⅲ)若对(Ⅱ)中的数列{an}和{bn}及任意正整数n,均有2an+bn+11≥0成立,求实数b的最小值.
答案
Sn |
Sm |
n |
m |
Sn |
1 |
当n≥2时,Sn-1=(n-1)2a,
∴an=Sn-Sn-1=n2a-(n-1)2a=(2n-1)a,
当n=1时,a1=a也适合上式,
∴an=(2n-1)a,n∈N+,
∵an+1-an=2a,
∴{an}是以a为首项,2a为公差的等差数列.
(Ⅱ)证明:当a=1时,由(Ⅰ)可得an=2n-1,
∴bn=2bn-1-1,
即有bn-1=2(bn-1-1),
b1-1=b-1≠0,
∴{bn-1}是以b-1为首项,2为公比的等比数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,bn-1=(b-1)•2n-1,
∴bn=1+(b-1)•2n-1,
∴由题意得,不等式22n-1+(b-1)•2n-1+12≥0对任意正整数n恒成立,
即b-1≥-
22n-1+12 |
2n-1 |
24 |
2n |
设t=2n(t=2,4,8,…),则b-1>-(t+
24 |
t |
对于函数y=x+
24 |
x |
y′= 1-
24 |
x2 |
(x+2
| ||||
x2 |
当x∈(-2
6 |
6 |
6 |
6 |
∴函数y=x+
24 |
x |
6 |
6 |
6 |
6 |
又当x=4时,y=10;当x=8时,y=11,∴y=t+
24 |
t |
24 |
2n |
即b≥-9,
∴实数b的最小值是-9.
核心考点
试题【已知首项为a(a≠0)的数列{an}的前n项和为Sn,,若对任意的正整数m、n,都有SnSm=(nm)2.(Ⅰ)证明:数列{an}是等差数列;(Ⅱ)若a=1,数】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.S15 | B.S17 | C.S7 | D.S8 |
|
S1 |
a1 |
S2 |
a2 |
S15 |
a15 |
A.
| B.
| C.
| D.
|
A.13 | B.35 | C.49 | D.63 |
| ||
2 |
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