题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.
（1）      若，是否存在，有说明理由；
（2）      找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
（3）      若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明.

答案

（1）由，                       ……2分
整理后，可得，，为整数，
不存在，使等式成立.                          ……5分
（2）解法一 若即，       （*）
（i）若，
当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求.……7分
（ii）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右边只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，，矛盾.
综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求.                                                ……10分
解法二 设，若，对都成立，且为等比数列，则，对都成立，即，
，对都成立，……7分
（i）若，.
（ii）若，则
综上所述，，使对一切，. ……10分
（3），
设
，
，，           ……13分
取，……15分
由二项展开式可得整数，使得，

存在整数满足要求.
故当且仅当，命题成立.                              ……18分
说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）
若为偶数，则为偶数，但为奇数.
故此等式不成立，一定为奇数.                        ……1分
当，
而
           当为偶数时，存在，使成立，                 ……1分
当 ，
也即，，
由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分
当，
也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，
故不是所有奇数都成立.                                       ……2分

解析

⑴知道了数列通项，可以把表达出来，因为，看是否满足条件；
⑵写出两个数列的通项，根据公差的取值进行讨论；
⑶由题意可知，数列的通项可以确定，设连续的项的的首项，可以求出这项的和，让其等于数列的第k项，建立方程，因为，从这里入手进行计算.