题目

题型：不详难度：来源：

设向量a =（），b =（）（），函数 a·b在[0，1]上的最小值与最大值的和为，又数列{}满足：．
（1）求证：；
（2）求的表达式；
（3），试问数列{}中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立？证明你的结论.

答案

（1）略（2）（3）存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立．

解析

（1）证明：a·b =，因为对称轴 ,
所以在[0，1]上为增函数，。
（2）解：由
得
两式相减得，
当时，          
当≥2时， 
即 
（3）解：由（1）与（2）得
设存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立，
当时，    
当≥2时，，
所以当时，，
当时，， 
当时， 
所以存在正整数，使得对于任意的正整数，都有≤成立．