题目
题型:不详难度:来源:
已知数列满足:,
(I) 求得值;
(II) 设,试求数列的通项公式;
(III) 对任意的正整数,试讨论与的大小关系。
答案
解析
∴;;. ………………3分
(Ⅱ)由题设,对于任意的正整数,都有:,
∴.∴数列是以为首项,为公差的等差数列.
∴. …………………………………………………………7分
(Ⅲ)对于任意的正整数,
当或时,;
当时,;
当时,. ……………………………………8分
证明如下:
首先,由可知时,;
其次,对于任意的正整数,
时,;
…………………9分
时,
所以,. …………………10分
时,
事实上,我们可以证明:对于任意正整数,(*)(证明见后),所以,此时,.
综上可知:结论得证. …………………12分
对于任意正整数,(*)的证明如下:
1)当()时,
,
满足(*)式。
2)当时,,满足(*)式。
3)当时,
于是,只须证明,如此递推,可归结为1)或2)的情形,于是(*)得证.
…………………14分
核心考点
举一反三
其中正确结论的个数为( ).
A. | B. | C. | D. |
求数列的通项公式.
(1)计算、、、 ;
(2)猜想的通项公式,并证明你的结论;
(3)求证:…
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