题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分15分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上。
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n

答案

（1）a₂="4" （2）b_n=2n-1，a_n=2ⁿ      
（3）T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6              

解析

（1）∵a_n是S_n与2的等差中项
∴S_n=2a_n-2              ∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2
a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂="4                                                                           "
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
又S_n—S_n-1=a_n，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴，即数列{a_n}是等比数列∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ
∵点P(b_n，b_n+1)在直线x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2，
即数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，∴b_n=2n-1
（3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ
∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+····a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+····+(2n-1)2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+····+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹
因此：-T_n=1×2+(2×2²+2×2³+···+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+····+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6