题目

题型：不详难度：来源：

设数列的前项和为，对一切，点在函数的图象上.
（1）求a₁，a₂，a₃值，并求的表达式；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内所有项之和，并设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（3）设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案

，2010，

解析

解：（1）点在函数上，.
所以a₁=S₁=2，a₂= S₂- S₁=4，a₃= S₃- S₂=6
当时，
检验：当时，满足..
（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以 ．又=22，所以="2010."
（3）因为，故，
所以．
又对一切都成立，即
对一切都成立
设，则只需即可．
由于，
所以，故是单调递减，于是 
令，即 ，解得，或．
综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数存在，的取值范围是
．