题目

题型：不详难度：来源：

（本小题10分）已知曲线，过作轴的平行线交曲线于，过作曲线的切线与轴交于，过作与轴平行的直线交曲线于，照此下去，得到点列，和，设，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）求证：曲线与它在点处的切线，以及直线所围成的平面图形的面积与正整数的值无关．

答案

（1）
（2）证明见解析。
（3）证明见解析。

解析

（1）．设，则直线的方程为
，令，得，，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，于是．从而
．
（2），

．
利用，当且仅当时取等号，得
．于是
．
（3）曲边三角形是由曲线与直线、切线所围成的图形．于是
，与无关，为定值．