题目

题型：不详难度：来源：

设数列的前项和为，，数列的通项公式为．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，
①求；
②若，求数列的最小项的值．

答案

（1）a_n＝＝2n．
（2） 当x≠1时， T_n＝．当x＝1时，T_n＝n²＋n．
（3）．

解析

（1）由与的关系得，又，
；（2）由（1）得，讨论分别用公式法和错误相减法求和；
时，＝ ，构造函数研究单调性得最小值
（1）a_n＝＝2n．…………………4分
（若没有交待a₁扣1分）
（2）c_n＝．
T_n＝2＋4x＋6x²＋8x³＋……＋ ．     ①
则xT_n＝2x＋4x²＋6x³＋8x³＋……＋ ．  ②
①－②，得(1－x)T_n＝2＋2x＋2x²＋……＋－．
当x≠1时，(1－x)T_n＝2×－．所以T_n＝．…8分
当x＝1时，T_n＝2＋4＋6＋8＋……＋2n＝n²＋n．…………………10分
（3）当x＝2时，T_n＝2＋．
则＝． ……………………11分
设f(n)＝．
因为f(n＋1)－f(n)＝－＝＞0， …………14分
所以函数f(n)在n∈N_＋上是单调增函数．  …………………15分
所以n＝1时，f(n)取最小值，即数列{}的最小项的值为