题目

题型：不详难度：来源：

（12分）已知{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆＝55，a₂＋a₇＝16。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}和数列{b_n}满足等式：a_n＝＋＋＋……＋，（nN₊），
求数列{b_n}的前n项和S_n。

答案

（1）a_n＝a₃＋(n－3)d＝2n－1；（2）当n＝1时，S₁＝b₁＝2
当n≥2时，S_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n＝2＋＝2^n＋2－6

解析

求一个数列的前n项和应该先求出数列的通项，利用通项的特点，然后选择合适的求和的方法．
（1）将已知条件a₃a₆=55，a₂+a₇=16，利用等差数列的通项公式用首项与公差表示，列出方程组，求出首项与公差，进一步求出数列{an}的通项公式
（2）将已知等式仿写出一个新等式，两个式子相减求出数列{bn}的通项，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前n项和Sn．
解：（1）由等差数列的性质得：a₂＋a₇＝a₃＋a₆
∴，解得：或
∵{a_n}的公差大于0  ∴{a_n}单增数列
∴a₃＝5，a₆＝11     ∴公差d＝＝＝2
∴a_n＝a₃＋(n－3)d＝2n－1
（2）当n＝1时，a₁＝   ∴b₁＝2
当n≥2时，a_n＝＋＋＋…＋
a_n－1＝＋＋＋…＋
两式相减得：a_n－a _n－1＝
∴b_n＝2^n＋1，n≥2

∴当n＝1时，S₁＝b₁＝2
当n≥2时，S_n＝b₁＋b₂＋b₃＋……＋b_n
＝2＋＝2^n＋2－6