题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分16分）
已知等差数列中，，令，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）是否存在正整数，且，使得，，成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

答案

（1）.（2）.
（3）不存在正整数，且，使得，，成等比数列.
综上，存在正整数，且，使得，，成等比数列.（16分）

解析

(1)由于为等差数列,并且,易求出的通项公式,(2)在(1)的基础上可得,则,再采用裂项求和的方示求和.
(3)先假设，，成等比数列,则,即,因为,所以下面讨论按m=2,3,4,5,6,和几种情况进行讨论求解.
数学II（附加题）
（1）设数列的公差为，由，.
解得，，∴.（4分）
（2）∵，，∴
∴
∴.（8分）
（3）由（2）知，，∴，，，
∵，，成等比数列，∴，即
当时，，，符合题意；
当时，，无正整数解；
当时，，无正整数解；
当时，，无正整数解；
当时，，无正整数解；
当时，，则，而，
所以，此时不存在正整数，且，使得，，成等比数列.
综上，存在正整数，且，使得，，成等比数列.（16分）