题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）
已知数列满足：（其中常数）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：当时，数列中的任何三项都不可能成等比数列；
（Ⅲ）设为数列的前项和．求证：若任意，

答案

（1）a_n＝(2n＋1)·λ^n－1 (n∈N^*)．（2）运用反证法思想 ，假设存在a_r，a_s，a_t成等比数列，然后推理论证得出矛盾。
（3）运用数列的通项公式以及数列的错位相减法的求和来证明，不等式的成立。

解析

试题分析：解：（Ⅰ）当n＝1时，a₁＝3．
当n≥2时，因为，             ①
所以．           ②
①－②得，所以a_n＝(2n＋1)·λ^n－1（n≥2，n∈N^*）．……………… 3分
又 a₁＝3也适合上式，
所以a_n＝(2n＋1)·λ^n－1 (n∈N^*)．                          …………………… 4分
（Ⅱ）当λ＝4时，a_n＝(2n＋1)·4^n－1．
（反证法）假设存在a_r，a_s，a_t成等比数列，
则[(2r＋1)·4^r－1]· [(2t＋1)·4^t－1]＝(2s＋1)²·4^2s－2．
整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 ^r＋t－2s＝(2s＋1)²．     
由奇偶性知r＋t－2s＝0．
所以(2r＋1) (2t＋1)＝(r＋t＋1)²，即(r－t)²＝0．这与r≠t矛盾，
故不存在这样的正整数r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比数列．        ……… 8分
（Ⅲ）S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋(2n＋1)λ^n－1．
当λ＝1时，S_n＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n²＋2n．                  ………… 10分
当λ≠1时，S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋(2n＋1)λ^n－1，
λS_n＝   3λ＋5λ²＋…＋(2n－1)λ^n－1＋(2n＋1)λⁿ．
(1－λ)S_n＝3＋2(λ＋λ²＋λ³＋＋…＋λ^n－1)－(2n＋1)λⁿ＝3＋2×－(2n＋1)λⁿ
①当λ＝1时，左＝(1－λ)S_n＋λa_n＝a_n＝2n＋1≥3，结论显然成立；
②当λ≠1时，左＝(1－λ)S_n＋λa_n＝3＋2× －(2n＋1)λⁿ＋λa_n
＝3＋2× 
而，和同号，故≥0
∴ 对任意都成立                        ………… 14分
点评：解决该试题的关键是利用数列的整体思想来求解通项公式，以及结合错位相减法求和得到证明，属于中档题。