题目

题型：不详难度：来源：

设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.
(Ⅰ) 数表如表所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；

1	2	3
	1	0	1

(Ⅱ) 数表如表所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；

(Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表，
能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之
和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.

答案

(Ⅰ)
(Ⅱ)      (Ⅲ)结论成立

解析

试题分析：（I）
法1：

法2：

法3：

（写出一种即可）                                                 
(II)  每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;
①如果操作第三列，则

则第一行之和为，第二行之和为，
,解得.                     
②如果操作第一行

则每一列之和分别为，，，
解得，综上                        
(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）
由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得
数阵中个数之和增加，且增加的幅度大于等于，但是每次操作都只
是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中
个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立
点评：本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．