题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)试确定的值,使得数列为等差数列;
(Ⅲ)当为等差数列时,对每个正整数,在与之间插入个2,得到一个新数列. 设是数列 的前项和,试求满足的所有正整数.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)根据题意是与的等差中项,由等差中项不难得出三者的关系,又由为等比数列,回归基本量即可求出公比的值,就可求出的通项公式; (Ⅱ)由数列满足,可化简求得的表达式,即,由(Ⅱ)中所给条件为等差数列,可想到它的前三项一定符合等差数列的要求,即满足,可求出的值,这样得到的表达式,通过等差数列的定义对所求表达式进行验证,得出是一个等差数列;(Ⅲ)由题目在与之间插入个2,即和之间插入2k个2,这样不难发现这个数列的前三项均为2,这显然成立,推到一般情形去证明当时,等式左边,右边,化简得,可根据特点可令函数,可对其求导进行分析函数的单调性情况,发现最小值成立,从而就可得出符合题意的值.
试题解析:解:(Ⅰ)因为,所以,
解得(舍),则 3分
又,所以 5分
(Ⅱ)由,得,
所以,
则由,得 8分
而当时,,由(常数)知此时数列为等差数列 10分
(Ⅲ)因为,易知不合题意,适合题意 11分
当时,若后添入的数2,则一定不适合题意,从而必是数列中的
某一项,则,
所以,即 13分
记,则,
因为,
所以当时,,又,
从而,故在[3,递增.
则由知=0在[3,无解,
即都不合题意 15分
综上知,满足题意的正整数仅有m=2 16分
核心考点
试题【设等比数列的首项为,公比为(为正整数),且满足是与的等差中项;数列满足().(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)试确定的值,使得数列为等差数列;(Ⅲ)当为等差数列时,】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前项和,求的值.
(I)求及;
(Ⅱ)设,,求的最大值.
A.10 | B.11 | C.12 | D.13 |
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