题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)求数列、的通项公式;
(Ⅲ)记,证明:对一切正整数,有.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)依题意,,,并结合已知,,利用赋值法可求、的值;(Ⅱ)由①,②,且,则,(),代入①中,得关于的递推公式,故可判断数列是等差数列,从而可求出,代入()中,求出(),再检验时,是否满足,从而求出;(Ⅲ)和式表示数列的前项和,故先求通项公式,再选择相应的求和方法求和,再证明和小于.
试题解析:(Ⅰ)由,可得.由,可得.
(Ⅱ)因为、、成等差数列,所以…①.因为、、成等比数列,所以,因为数列、的每一项都是正数,所以…②.于是当时…③. 将②、③代入①式,可得,因此数列是首项为4,公差为2的等差数列,
所以,于是. 则.
当时,,满足该式子,所以对一切正整数,都有.
(Ⅲ)方法一:,所以.
于是
.
方法二:.
于是
.
核心考点
举一反三
(Ⅰ)求、的值;
(Ⅱ)求数列、的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.
(1)若是等差数列,求证:为等差数列;
(2)若,求数列的前项和.
A.36 | B.42 | C.45 | D.63 |
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