题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁＝1，a_n－a_n－1＋2a_na_n－1＝0(n∈N^*，n>1)．
(1)求证：数列是等差数列并求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n＝a_na_n＋1，求证：b₁＋b₂＋…＋b_n< .

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

(1)已知a_n－a_n－1＋2a_na_n－1＝0，两边同除以a_na_n－1得－＝2.
则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
于是＝2n－1，a_n＝ (n∈N^*)．
(2)由(1)知b_n＝，则
b₁＋b₂＋…＋b_n＝＋＋…＋＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)<