题目
题型:不详难度:来源:
.
(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.
(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.
答案
解析
试题分析:(1)由三个数是等差数列,可得.根据定义可知即。变形为 ,由等差数列的定义可知,数列是首项为1,公差为4的等差数列。从而可得其通项公式。(2)若对于任意,三个组成公比为的等比数列,则,由得将上式变形整理根据等比数列的定义可证得数列是公比为的等比数列;若数列是公比为的等比数列,则对任意,有.根据已知可证得=,从而三个数组成公比为的等比数列.
解: (1)因为对任意,三个数是等差数列,
所以. 1分
所以, 2分
即. 3分
所以数列是首项为1,公差为4的等差数列. 4分
所以. 5分
(2)(1)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则
. 6分
所以得
即. 7分
因为当时,由可得, 8分
所以.
因为,
所以.
即数列是首项为,公比为的等比数列, 9分
(2)必要性:若数列是公比为的等比数列,则对任意,有
. 10分
因为,
所以均大于.于是
11分
12分
即==,所以三个数组成公比为的等比数列. 13分
综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列. 14分
核心考点
试题【已知数列的各项均为正数,记,, .(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. |
C. | D. |
第3小题满分8分.
如果数列同时满足:(1)各项均为正数,(2)存在常数k, 对任意都成立,那么,这样的数列我们称之为“类等比数列” .由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问:
(1)若数列为“类等比数列”,且k=(a2-a1)2,求证:a1、a2、a3成等差数列;
(2)若数列为“类等比数列”,且k=, a2、a4、a5成等差数列,求的值;
(3)若数列为“类等比数列”,且a1=a,a2=b(a、b为常数),是否存在常数λ,使得对任意都成立?若存在,求出λ;若不存在,说明理由.
求数列的通项公式;
设的前项和为,若的最小值为,求的取值范围?
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