题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分） 古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．

现用a_n表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1) 写出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
(2) 记，求和（）；（其中表示所有的积的和）
(3)证明：

答案

（1）；（2）；（3）略。

解析

(1)
事实上，要将个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面个圆盘转移到B柱上，需要次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将柱上的个圆盘转移到C柱上，需要次转移，所以有则，
所以                                  …………2分
(2) 则
    …………4分
（3）令，则当时
            
又，所以对一切有：


另方面恒成立，所以对一切有

综上所述有：  …………12分