题目
题型:不详难度:来源:
(1)若a=1,m=1,求公差d;
(2)若在a,b之间和b,c之间所插入数的个数均为奇数,求所插入的m数的乘积(用a,c,m表示)
(3)求证:q是无理数.
答案
①若插入的数在a,b之间,则1+d=q2,1+2d=q3,消去q可得(1+2d)2=(1+d)3,d=.
②若插入的数在b,c之间,则1+d=q,1+2d=q3,消去q可得1+2d=(1+d)3,此方程无正根.
故所求公差d=
(2)设在a,b之间插入l个数,在b,c之间插入t个数,则l+t=m,
【由等比中项得:】
在等比数列{an}中,∵a1=a, al+2=b=, am+3=c,akam+4-k=a1am+3=ac(k=2,3,···,m+2),
∴(a2a3…am+2)2=(a2am+2)·(a3am+1)···(am+2a2)=(ac)m+1
又∵ql+1=>0,qt+1=>0,l,t都为奇数,∴q可以为正数,也可以为负数.
① 若q为正数,则a2a3…am+2=(ac),所插入m个数的积为;
②若q为负数,a2,a3,…,am+2中共有+1个负数,
当是奇数,即m=4k-2(k∈N*)时,所插入m个数的积为;
当是偶数,即m=4k(k∈N*)时,所插入m个数的积为.
综上所述,当m=4k-2(k∈N*)时,所插入m个数的积为;
当m=4k(k∈N*)时,所插入m个数的积为.
注:可先将a2,a3,…,am+2用a和q表示,然后再利用条件消去q进行求解.
(3)∵在等比数列{an},由ql+1==,可得ql+1-1=,同理可得qm+2-1=,
∴qm+2-1=2(ql+1-1),即2ql+1-1=qm+2 (m≥l),
反证法:假设q是有理数,
①若q为整数,∵a,b,c是正数,且d>0,∴|q|>1,在2ql+1-qm+2=q(2ql-qm+1)=1中,∵2ql+1-qm+2是q的倍数,故1也是q的倍数,矛盾.
②若q不是整数,可设q=(其中x,y为互素的整数,x>1),
则有()m+2=2()l+1-1,即ym+2=xm−l+1(2yl+1-xl+1),∵m≥l,可得m-l+1≥1,
∴ym+2是x的倍数,即y是x的倍数,矛盾
∴ q是无理数.
解析
核心考点
试题【已知数列a,b,c为各项都是正数的等差数列,公差为d(d>0),在a,b之间和b,c之间共插入m个实数后,所得到的m+3个数所组成的数列{an}是等比数列,其公】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.50 | B.49 | C.48 | D.47 |
A.6 | B.10 | C.16 | D.32 |
A.15 | B.16 | C.17 | D.18 |
A.8 | B.9 | C.10 | D.16 |
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