题目
题型:不详难度:来源:
(1)若,求证:数列{an}是等比数列;
(2)试确定所有的自然数k,使得数列{an}能成等差数列
答案
因为恒成立,所以,即.
而且当时,, ①
, ②
①-②得 .
若an=0,则,…,a1=0,与已知矛盾,所以.
故数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.
【解】(2)(i) 若k=0,由(1)知,不符题意,舍去.
(ii) 若k=1,设(b,c为常数),
当时,, ③
, ④
③-④得 .
要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有(常数),
而a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为an =1,
故当k=1时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为an =1,此时.
(iii) 若k=2,设(,a,b,c是常数),
当时,, ⑤
, ⑥
⑤-⑥得 ,要使数列{an}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有
,且d=2a,
考虑到a1=1,所以.
故当k=2时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为,
此时(a为非零常数). (iv) 当时,若数列{an}能成等差数列,则的表达式中n的最高次数为2,故数列{an}
不能成等差数列.
综上得,当且仅当k=1或2时,数列{an}能成等差数列.
解析
核心考点
试题【设为关于n的k次多项式.数列{an}的首项,前n项和为.对于任意的正整数n,都成立.(1)若,求证:数列{an}是等比数列;(2)试确定所有的自然数k,使得数列】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.110 | B.111 | C.112 | D.113 |
(1)求这个数列的通项公式,并证明该数列是等差数列;
(2)当为何值时,取得最小值,此时最小值是多少。
(1)求数列的通项公式
(2)令,求数列的前项和
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